Nguyên trang bất đăng thức Bunhacoxki  rồi. 

Ta có:  (đk: x,y,z,t > 0)

 \(M>\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)

Vậy \(M>1^{\left(đpcm\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+y+z}{x\left(y+z\right)}=\frac{1}{2}\\\frac{x+y+z}{y\left(z+x\right)}=\frac{1}{3}\\\frac{x+y+z}{z\left(x+y\right)}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) lần lượt chia vế cho vế ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y\left(z+x\right)}{x\left(y+z\right)}=\frac{3}{2}\\\frac{z\left(x+y\right)}{x\left(y+z\right)}=2\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\yz=2xy+xz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\3yz=6xy+3zx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow yz=5xy\Rightarrow z=5x\)

Thế vào \(yz=2xy+zx\Rightarrow5xy=2xy+5x^2\)

\(\Leftrightarrow3xy=5x^2\Rightarrow y=\frac{5x}{3}\)

Thế vào pt đầu: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{5x}{3}+5x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{23}{20x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{23}{10}\)

\(\Rightarrow y=\frac{23}{6};z=\frac{23}{2}\)

b/ Do các vế trái đều ko âm nên x;y;z không âm

- Nhận thấy nếu 1 biến bằng 0 thì 2 biến còn lại cũng bằng 0 nên \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm

- Với \(x;y;z>0\) ta có:

\(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\le\frac{2x^2}{2\sqrt{x^2.1}}=x\Rightarrow y\le x\)

Tương tự: \(z=\frac{2y^2}{1+y^2}\le y\) ; \(x=\frac{2z^2}{1+z^2}\le z\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Thay vào pt đầu:

\(\frac{2x^2}{1+x^2}=x\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x^2}=1\Leftrightarrow2x=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=y=z=1\)

Vậy: \(\left[{}\begin{matrix}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{matrix}\right.\)

BĐT tương đương

\(\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

sau đó nhân phá ra và đưa về dạng tổng các bình phương

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\((x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{9}{x+y+z}\right)\geq (x+y+z)\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\)

\(\Leftrightarrow 12+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\geq 12+\frac{4x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}+\frac{4z}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow (\frac{y}{x}+\frac{y}{z}-\frac{4y}{x+z})+(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}-\frac{4z}{x+y})+(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}-\frac{4x}{y+z})\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{y(x-z)^2}{xz(x+z)}+\frac{z(x-y)^2}{xy(x+y)}+\frac{x(y-z)^2}{yz(y+z)}\geq 0\)

(luôn đúng với mọi $x,y,z>0$)

Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Ta có: \(36=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4z\left(x+y\right)\)(1)

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(2)

Nhân theo vế (1) và (2), ta được: \(36\left(x+y\right)^2\ge16xyz\left(x+y\right)\Rightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge\frac{4}{9}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=z;x=y\\x,y>0;x+y+z=6\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2};z=3\)

Ghi chú: Này, mình mới lớp 6, nên giải chưa biết chắc là đúng hay sai nên lỡ có sai thì bạn đừng trách mình nhé!

Đặt \(A=\frac{x}{y\left(z+1\right)}+\frac{y}{z\left(x+1\right)}+\frac{z}{x\left(y+1\right)}\le\frac{9}{4}\)(Sửa đề)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)với a,b dương và x + y + z = 1,ta có:

\(\frac{4}{y\left(z+1\right)}=\frac{4}{y\left(z+x+y+z\right)}=\frac{4}{y\left(\left(z+x\right)+\left(z+y\right)\right)}\le\frac{4}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)\)

Nhân hai vế với số dương xy, ta được:

\(\frac{4xy}{y\left(z+1\right)}\le\frac{4xy}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)\). Do đó:

\(4A=\frac{4xy}{y\left(z+1\right)}+\frac{4yz}{z\left(x+1\right)}+\frac{4zx}{x\left(y+1\right)}\)

\(\le\frac{4xy}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)+\frac{4yz}{z}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{4zx}{x}\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(=4x\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)+4y\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+4z\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(=\frac{4x}{z+x}+\frac{4x}{z+y}+\frac{4y}{x+y}+\frac{4y}{x+z}+\frac{4z}{y+z}+\frac{4z}{y+z}\)

\(\Rightarrow4A\le\frac{4x+4y}{z+x}+\frac{4y+4z}{z+y}+\frac{4z+4x}{x+y}=x+y+z=9\)

Do : \(4A\le9\)nên \(A< \frac{9}{4}\)